Ma reconversion professionnelle m'a amené à reprendre les notions de Maths du collège. J'ai fait exercices sur exercices (entre autres de géométrie, Théorèmes de Thalès, de Pythagore). J'ai aussi pu profiter d'un aperçu de la didactique et de la pédagogie mathématiques conventionnelles.
Je ne me suis pas encore penchée assez longtemps sur le sujet pour me faire une opinion objective. Pour mon cas, je ne fonctionne qu'à la compréhension, l'explicité. Avec les alternatives Montessori et Méthode de Singapour, j'arrive encore mieux: la manipulation et la schématisation m'aident. Mais apparemment, ces méthodologies n'apporteraient pas suffisamment de liberté pour la résolution des problèmes, ce ne serait que des astuces simplificatrices voire même stérilisantes et les schémas pourraient être aussi le résultat de la démarche sans en être une étape.
Avant de revenir sur la didactique mathématique du primaire ou du collège, je continue à proposer au troll des manipulations rapides. Ici de quoi visualiser le Théorème de Pythagore.
Juste utiliser les puzzles Montessori pour voir les équivalences, chaque modèle a ses pastilles auto-correctives derrière.
Jusqu'à cinq modèles a,b et c (3, 4 et 5 puis 6, 8, 10 puis 9, 12, 16 puis 12, 16, 20 puis 15, 20 et 25)
Reprendre les puissances, reproduire les figures: deux carrés identiques formé chacun de 4 triangles égaux, puis de deux carrés (a² et b²) pour le premier et d'un seul (c²) pour le second.
puis retrouver la formule en enlevant les triangles identiques de chaque côté...
a² + b² = c²
Puis constater que ces carrés, en superposant le carré mobile c² au carré c² du support, les carrés a² et b² pouvaient former avec lui un triangle rectangle comme dans le premier puzzle.
Le lutin continue d'évoluer en géométrie tranquillement mais la démonstration reste fragile. Il vient effectivement de passer à la troisième forme de géométrie, elle n'est plus uniquement perception (cela se voit) ou instrumentée (vérifiée avec les propriétés et mesurée avec les instruments), elle est maintenant déductive.
Depuis ce début de collège, il lui faut (dé)montrer, prouver, justifier. Nous en arrivons ainsi à la démonstration: On sait que... Or... Donc
Le chenapan apprend les définitions et les propriétés par cœur pour les utiliser. Est-ce suffisant? Le processus est si normé que je me suis dit qu'un petit mode opératoire serait parfait pour ancrer tout cela.
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Bien-sûr - devrais-je dire- une visualisation peut être le préambule. C'est tellement évident avec la Méthode de Singapour que le petit d'homme suit avec moi depuis le CP: pas de manipulation concrête possible ici mais au moins une modélisation du problème. Une compréhension par le dessin est parfaite pour simplifier la question.
Première étape donc, reprendre le cours et dessiner à main levée la propriété en utilisant un code couleur pour bien visualiser ce que nous savons et ce que nous cherchons. Malgré le daltonisme rouge/vert du lutin, nous les avons utilisées ici.
De quoi réviser les définitions (codage en vert sur la figure) et les propriétés (codage en rouge) puis de mettre en route le réflexe d'un croquis à main levée pour mieux visualiser une démonstration.
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D'accord: mais la démonstration en elle-même? (dès qu'il faut démontrer, justifier, prouver mais non déduire).
Le tout est d'avoir un puzzle à remplir bien précis puis toutes les propriétés.
Il y a déjà l'idée que certains éléments sont connus et d'autres à chercher. En vert "ce que je sais" et en jaune "ce que je cherche".
Le format est:
On sait que ... (données utiles prises dans l'énoncé ou le codage de la figure géométrique) 1/
Or Si ... alors... (propriété ou théorème)
Donc ... (conclusion: définition de la figure) 2/
1/ Ce que je sais me permet d'utiliser quel(le) théorème (propriété)?
2/ De quoi ai-je besoin pour arriver à la définition de la figure?
Parce que voilà, le premier élément (les premiers trois petits points: ...) trouvédonne le second; le troisième, le dernier. Vous ne comprenez pas? Il y a correspondance, visible ici par les couleurs, encore:
On sait que ***
Or si *** alors ***
Donc ***
Reste à connaître la propriété à utiliser. Il faudra la connaître, la retrouver par le dessin mais pour l'entrainement et les révisions, il est possible de passer par du matériel: des cartes/fiches ou tiroirs/boites de propriétés tout prêts. Par exemple là un tiroir à propriétés.
Pour la 6ème, Le bonheur en famille propose des cartes très bien faites: le recto avec la figure, le verso toutes les propriétés associées. Il manque les triangles que je vous présentais en début de billet. J'y ai fluoté les termes qui nous aident.
Pour la 4ème, en partant de ce que nous cherchons, le Collège Condorcet de Dourdan propose un livret complet.
A vous de choisir, soit pour séparer chaque propriété comme une carte individuelle par conclusion (définir un quadrilatère par exemple), soit avoir un livret complet. Il faut que les propriétés soient très visibles (encadrées, fiches individuelles, fluotées etc...)
Ainsi dessiner ce que nous savons (en vert, données de l'énoncé ou la figure dessinée et codée de l'énoncé).
Mettre en évidence rouge ce que nous cherchons avec pourquoi pas la définition de la figure à démontrer.
Puis prendre le puzzle démonstration et la fiche de propriétés associées
certaines propriétés sont plus faciles à retrouver...
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*Exogeo
J'ai vu de nombreuses propositions interactives sur le net. Bien-sûr un fabuleux logiciel Exogeo plus aussi disponible qu'avant, il serait accessible seulement si un professeur convie un élève sur le site Labomep. Des liens interactifs restent, des entrées par les hypothèses (données de l'énoncé) ou par la conclusion, ici ou là.
Nous avons eu de nombreuses discussions avec le petit d'homme pendant les vacances. Entre autre sur le sujet des apprentissages à la maison, de ce soutien scolaire alternatif. Il demande à faire ses devoirs un peu plus en autonomie. Parfait! Me propose aussi de faire moins de séances de mathématiques en suivant le manuel de Singapour. Moui! Bon cela m'arrange un peu il est maintenant en anglais, nous piocherons en fonction de ses difficultés. Il souhaite par contre continuer à découvrir des sujets qu'il ne voit pas à l'école. Ok super. Et puis... en rentrant des vacances le voilà qui me réclame de découvrir avant le programme du collège les nombres au carré, au cube et les racines carrées. - Parce que j'adore comprendre au moment où le professeur l’aborde pour la première fois ! - Oui, je vois, je vois.
Me voici donc en train de préparer des choses.
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Bon, des fois tout est fait, tout est préparé pour vous. Oui, merci aux blogs partageurs qui offrent toutes leurs étapes ainsi que le matériel. J'ai donc repris le matériel et exactement le même déroulement que La petite vie d'Ilhan et Mélia (Grandir et s'émerveiller). Enfin presque.
Nous avons ressorti les perles Montessori. Les nombres de 1 à 9 (+ le 10) en triangle.
Puis le lutin a mis les nombres en ligne avec le chiffre associé.
Puis il a créé la pyramide des nombres au carré.
Il les réutilise un à un. Et oui, en pleine séance je découvre (ce n'est pas la première fois!!) que je n'ai pas tout le matériel. Donc il reprend un à un les nombres au carré (les carrés) et y associe le résultat de la multiplication du chiffre par lui-même (pile la ligne médiane de la Table de Pythagore pour mémoriser les tables de multiplications).
Puis les nombres au cube et la multiplication associée (largeur, longueur et hauteur du cube, les trois mesures étant égales) mais nous avons laissé là la séance. Nous la reprendrons plus tard.
Il a tenté la pyramide des nombres au cube, tour de Babel en déséquilibre, allez une seconde pile pour la photo. Une mise en joie!
Et ensemble nous avons refait quelques nombres au carré manquants avec des perles à repasser.
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Et puis, j'ai préparé le cube sensoriel puissance 2. Alors cette fois-ci je ne l'ai pas construit en bois comme les cubes sensoriels binomial et trinomial. Je l'ai fabriqué en papier plastifié. Il sera beaucoup moins solide mais le chenapan ne va plus autant l'utiliser comme un puzzle 3D qu'un enfant mais directement en application.
Voici les patrons (attention à la pièce 6 où le patron n'a pas la symétrie totale des mesures!) - Cliquez sur les images pour les voir en plus grand -
et le tableau de correction.
En cours de fabrication. Et pour les plus géomètres d'entre vous, vous trouverez deux patrons loupés dans les découpes... bien-sûr j'en ai pris note dans le focus patrons que je vous propose: il est corrigé.
Le résultat est bancal, pas parfait mais pour un moindre coût! Je referais la boite, un peu juste.
Puis en utilisation. Pour cela suivez le guide en anglais.
En composant le cube:
1/ Un petit cube jaune (pièce 1) comme unité, associé à l'autre (pièce 2) il donne 2puissance1 (je n'arrive pas à mettre les chiffres en exposant, soit en petit et en hauteur - je dirais donc puissance -),
2/ le petit pavé droit blanc (pièce 3) est équivalant aux deux cubes jaunes associés (pièces 1 et 2), en les regroupant, il s'agit de:
2puissance1 x 2
= 2² (2puissance2 ou 2 au carré)
3/ le petit pavé droit vert (pièce 4) est équivalant aux pièces 1, 2 et 3 associées, en les regroupant, il s'agit de :
2² (2puissance2 ou 2 au carré) x 2
= 2puissance3 (2 au cube)
4/ le grand cube jaune (pièce 5) est équivalant aux pièces 1, 2, 3 et 4 associées, en les regroupant, il s'agit de:
2puissance3 (2 au cube) x 2
= 2puissance4
5/ le grand pavé droit blanc (pièce 6) est équivalant aux pièces 1, 2, 3, 4 et 5 associées, en les regroupant, il s'agit de:
2puissance4 x 2
= 2puissance5
6/ le grand pavé droit vert (pièce 7) est équivalant aux pièces 1, 2, 3, 4, 5 et 6 associées, en les regroupant, il s'agit de:
2puissance5 x 2
= 2puissance6
Puis en redécomposant le cube:
7/ le grand pavé droit vert (pièce 7) représente 2puissance5
8/ le grand pavé droit blanc (pièce 6) représente 2 puissance4
9/ le grand cube jaune (pièce 5) représente 2puissance3 (2 au cube)
10/ le petit pavé droit vert (pièce 4) représente 2² (2puissance2 ou 2 au carré)
11/ le petit pavé droit blanc (pièce 3) représente 2puissance1
12/ un petit cube jaune n'est pas 2, il est 2puissance0
13/ associer à chaque le résultat de la multiplication correspondante:
avant 2
2puissance1 = 2 x 1 = 2
2² (2puissance2 ou 2 au carré) = 2 x 2 = 4
2puissance3 = 2 x 2 x 2 =8
2puissance4 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
2puissance5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
2puissance6 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
Nous n'arrêtons pas de remplir des bacs, à ras bord, ou pas beaucoup, d'y ajouter des pierres, des boules de métal, des billes, de retirer de l'eau parce que fuite, d'en rajouter parce que robinet (un ou plusieurs). Voilà, nous venons de finir le chapitre des volumes de la Méthode de Singapour (mais pas de cylindre pour l'instant, à l'inverse de l'illustration de couverture des manuels CM2).
Comme d’habitude avec cette pédagogie, nous expérimentons la formule.
Ici pour découvrir le volume, nous prenons des formes assemblées avec des cubes. Et l'enfant compte les cubes contenus, dans la première couche, la seconde, cela donnera tant d'unités cubiques.
Puis, nous prenons des parallélépipèdes particuliers, des cubes, et découvrons que le volume est, à chaque fois, égal à la longueur x la largeur x la hauteur (V = L x l x h). Et qu'en utilisant le tableau des cubes parfaits nous aurons l'information tout de suite.
S / S3 (S au cube: S x S x S)
1 / 1
2 / 8
3 / 27
4 / 64
.... / .....
Puis cela se complique. Trouver le volume ou la hauteur ou la largeur ou la longueur en s'aidant de la formule V = L x l x h . Puis trouver les mêmes éléments après modification du volume (de l'eau, rajouté, retiré, une pierre dedans modifiant le niveau d'eau).
Un des premiers éléments a été pour le lutin de bien saisir que si nous entrons dans une piscine remplie à ras bord, l'eau qui déborde représente celle qui n'a plus de place dans la piscine par notre présence : le volume d'eau débordée correspond au volume que nous occupons dans l'eau de la piscine. Soit si nous connaissons le volume d'une pierre plongée entièrement dans l'eau d'un bac, nous connaissons le volume d'eau déplacée occupant le bac (et inversement). Voir plus bas pour un exemple.
Voici un exemple de nos prises de tête... parce que oui, c'est un peu cela aussi les maths (même quand j'ai préparé le cours avant).
La première chose, toujours avec cette méthode, partir d'un schéma bien détaillé. Ici le noir correspond au changement, la boule est mise dans l'eau sans dépasser de l'eau et le niveau d'eau monte.
Et nous démarrons:
La réponse ne peut pas être trouvée d'un coup. Nous connaissons V = L x l x h et nous savons que le volume de la boule correspond au volume d'eau déplacée, soit sur le schéma entre la ligne d'eau en bleu à hauteur de 1/2 du bac et la ligne d'eau déplacé en pointillés noirs à hauteur de 5/6 du bac.
à chaque solide, trouver le nom, le nombre d'arêtes, le nombre de sommets, le nombre de faces, la forme des faces et le patron.
Je me suis servi des cartes proposées chez Montessori mais pas que, des solides et de la roue des vérifications du jeu Pirates As de la géométrie pour les solides les plus importants.
Mais vous trouverez le fichier de contrôle sur le lien du dessus. Une idée de développement de la sphère (pas un vrai patron mais une forme approchante) est intéressante pour comprendre la création des planisphères en fonction de notre terre ronde.
Il m'arrive de douter de la pertinence du temps passé à (re)faire les mathématiques par la Méthode de Singapour ou par Montessori. Les cours du lutin en classe peuvent se suffire à eux-même.
Et puis, il y a un exemple et je me remets à être enthousiaste. Je suis persuadée de la plus-value de ces heures investies, par lui et moi.
Par exemple, la géométrie du cercle. Le petit d'homme l'a vue en classe et en une séance revient avec des calculs de "longueur" de cercle avec la formule associée.
Oui, mais cette formule n'est pas ancrée, il va lui falloir l'apprendre par coeur. Il manque de la compréhension dessous, il faut faire sens. Et me voilà ouvrant et préparant les deux premières séances du cercle prévues dans le programme de 6ème de la Méthode de Singapour. Oui, ma version en anglais, venant de Singapour même, en passant par les États-Unis dans leur longueur. Merci encore ma chère As.
Un cercle, comme un rond de papier plié en deux parties égales. Une droite apparait, le segment formé par la pliure est un diamètre. Une autre pliure partageant le rond en deux parties égales, un autre diamètre et le point commun des deux pliures, le centre.
Par la Méthode de Singapour:
Trouver par soi-même, en calculant au départ, le lien entre rayon et diamètre. Puis écrire les formules vérifiées.
Diamètre = rayon X 2
Rayon = Diamètre / 2
Puis, de manière pragmatique, lire la mesure du contour du cercle, longueur, périmètre ou circonférence (pour l'instant, les trois appellations coexistent dans mes livres).
Prendre une tasse et mesurer le tour de sa base ronde avec du fil ou en suivant une ligne. Prendre un cercle sur la page et mesurer. Prendre la forme en métal Montessori et la faire rouler le long d'une règle graduée.
Par Montessori, détourer la forme sur la ligne mesurant la longueur du cercle et découvrir à chaque fois trois formes plus une petit reste.
Par la Méthode de Singapour, trouver le nombre par le calcul.
Pour mieux comprendre l'infinité du nombre Pi, nous pouvons suivre Daniel TAMMET récitant en 5 heures les 22 514 premières décimales... j'en parlais un peu ici.
