Les pourcentages avec la Méthode de Singapour

Cette année de 6ème demande beaucoup de temps du lutin, investi aux devoirs. Nous avons dû faire des choix pour ne pas trop le surcharger. Le suivi de la Méthode de Singapour est passé en seconde position parce que le niveau que nous suivons dépasse un peu celui de la 6ème, soit le grade 6 aux USA (nous utilisons les propositions d'une maison d'éditions singapourienne et aussi basée aux USA, Marshall Cavendish).

Cette méthode explicite, qui a le vent en poupes depuis le rapport du mathématicien à la médaille Fields Cédric Villani, revient pendant les vacances. Parce que je ne peux décemment pas passer à côté au vu de la compréhension qu'elle apporte.

Nous passons de la démarche ensemble à une pratique guidée, "à trous" avec schéma intégré, à la dernière forme: la résolution en totale autonomie. Pour les problèmes avec des pourcentages, le schéma simplifie toujours l'abstrait. Le plus compliqué reste de FAIRE le schéma, après tout est clair.

Voici le lutin en pleine démonstration: connaitre le tout quand un pourcentage est connu. Il m'avait demandé de le photographier, je n'avais pas pris la peine de noter l'énoncé mais c'est toujours intéressant de voir le schéma: une barre de 100% (représentée par la seconde flèche en partant du haut), coupée en deux parties, 60% et 40%. Les 40% représentent 480 euros, combien fait le tout (les 100%)?

Mais les problèmes se compliquent vite en appliquant des augmentations ou des diminutions par exemple. Toujours faire attention au tout qui ne correspond pas toujours au 100%.

Ici une école qui augmente de 10% son effectif: après son augmentation, ils sont 1320 élèves.

Ou encore quand les parties sont en pourcentages mais aussi en fraction.

Le schéma est essentiel:

- savoir combien de barre(s) mettre (2 s'il s'agit d'une comparaison ou d'un avant/ après)

- savoir retrouver les parties (au nombre de combien) et le tout

- savoir noter ce que nous connaissons, la somme de base (100%), les pourcentages juste au dessus de cette barre-là, les autres éléments

- savoir noter ce que nous cherchons

- pour un énoncé encore plus complexe, savoir distinguer le pourcentage se rapportant au total et celui se rapportant au reste (je tente de vous faire une photo plus tard).

Voici un exemple:

L'énoncé (une histoire de gommettes partagées avec la question: combien y a-t-il de gommettes en tout?) et le schéma en barre associé (les 100% concernent la portion de Claude).

La première étape où il faut passer par la démarche unitaire ou celle du 20% (nous ne pouvons pas trouver directement un lien entre 40% et 100%)

La seconde étape pour trouver le tout.

Division d'un nombre entier par une fraction

Nous avançons tout doucement dans le programme de 6ème selon la Méthode de Singapour (niveau un peu au-dessus du programme). Tout simplement parce que cette année demande au lutin plus d'investissement.

Le processus va utiliser la multiplication d'un nombre entier par une fraction. Un rappel est bienvenu:

3 x 2/3 = ( 3 x 2 ) / 3 = 6/3 = 2

***

Mais comme à chaque fois avec la Méthode de Singapour, la pratique et la visualisation sont importantes.

Les fractions ce sont des parts d'un tout. Avec les formes Attrimaths, il est possible de savoir combien de parts il y a dans l'hexagone jaune.

1 part dans l'entier (hexagone jaune) s'il n'est pas coupé

2 parts (trapèzes rouges) dans l'entier (hexagone jaune), soit le trapèze rouge équivaut à 1/2 (1 demi)

3 parts (losanges bleus) dans l'entier (hexagone jaune), soit le losange bleu équivaut à 1/3 (1 tiers)

6 parts (triangles verts) dans l'entier (hexagone jaune), soit le triangle vert équivaut à 1/6 (1 sixième)

Ce qui parait plus complexe et qui ne l'est pas en manipulant est de savoir, par exemple, combien de sixième (1/6) il y a dans un demi (1/2)? Soit combien de triangles verts dans un trapèze rouge.

C'est le moment de dire que cela revient à diviser le trapèze rouge (1/2) en triangles verts (1/6), soit: (1/2) / (1/6) = ?

Ou combien de sixième (1/6) dans trois entiers (3)? 18.

3 / (1/6) = ?

Reste à imager la démarche. La ligne des nombres illustre le processus de division d'un nombre entier par une fraction en utilisant la soustraction répétée.

En démarrant de zéro, la ligne va jusqu'au nombre entier à diviser. Il suffit alors de noter les entiers et les diviser par l'unité de "séparation". Puis, au dessus de la ligne, de soustraire par la fraction demandée. Attention l'unité de séparation est toujours un part du tout divisé en tant de parts.

Voici des exemples:
 2 / (1/4) = ?

ou plus compliqué:
5 / (2/3) = ?
Préparer la ligne des nombre de 0 à 5 et la diviser en portions, ici de 1/3 dans chaque entier. Repartir de 5 et compter par 2/3.
5 / (2/3) = 7 + 1/2

Puis de découvrir que le nombre entier divisé par la fraction revient à multiplier celui-ci par une fraction où l'on a inversé le dénominateur et le nominateur.
Il n'est plus alors nécessaire de passer par la schématisation:
6 / (1/7) = ?
6 / (1/7) = 6 x (7/1) = 6 x 7 =  42

ou
5 / (5/7) = 5 x (7/5) = (5 x 7) /5 = 35/5 = 7

Problème avec fractions (dont de reste)

Allez, pour se donner du courage, voici sur quoi nous nous penchons en ce moment... une fois que le schéma est fait, reste à bien saisir à quoi correspond la fraction, fraction du tout, fraction du reste... le lutin décompresse (un peu) en illustrant.

Non, non, il n'a pas que travaillé pendant les vacances...

Illustrer un produit de fractions

Parce que pendant les vacances, même entre les deux fêtes, nous continuons.
Ici illustrer des multiplications et des divisions de fractions en s'aidant d'un schéma. Facile.
Bon, ces leçons (3 pour la multiplication et 2 pour la division qui a la même illustration) n'ont pris qu'un quart d'heure. Une fois compris, cela va très très vite!

1er exemple:
3/4 x 3/5 = ?
Il suffit de compter les cases les plus colorées sur la totalité: 9/20

2eme exemple:
2/3 de 3/4 = ?
2/3 x 3/4 = ?
Il suffit de compter les cases les plus colorées sur la totalité: 6/12 = 1/2
(2x3)/(3/4) = ?

***
Si vous avez un doute pour la division,
2/3 divisé par 3 revient à illustrer 2/3 x 1/3 ou 1/3 de 2/3.

***
Et puis, le lutin fait aussi d'autres choses, jeux (et de plateau), décorations (et éphémère) et préparation de fruits déguisés pour ce soir.

Les fractions d'un ensemble

Retour aux devoirs... non, non nous ne sommes pas à plaindre.

Le petit d'homme s'accompagne de petits grigris porte-bonheur: les derniers personnages lego, son petit bouddha doré et brillant (qui a précédé le mien), son daruma à un seul œil bien que son vœu est été exaucé et son tout nouveau maneki neko noir (chat japonais levant la patte non pour se toiletter l'oreille mais pour soutenir dans la santé son propriétaire).

Et moi, une part de tarte et un thé...

Nous avions abordé les fractions l'année dernière et cette fois-ci le lutin les attendait avec impatience. Que vous dire: il aime les mathématiques au point de réclamer des exercices! Nous avons repris les fractions d'un entier grâce aux camemberts et aux barres.

La Méthode de Singapour reprend ses éléments, demande d'additionner et de soustraire des fractions aux dénominateurs ou numérateurs différents (quand ce ne sont pas les deux à la fois), de proposer une fraction irréductible et de préparer des fractions mixtes (nombre entier et fraction). Les fractions supérieures à l'entier ont été abordées. Voir l'exemple ci-dessous très visuel trouvé sur le net.

Nous sommes passés à une abstraction de plus: l'entier n'est plus 1 mais un groupe.

Ce matin ce fut donc des exercices pour rendre le calcul plus rapide d'une fraction d'un ensemble (je ne sais pas mettre une fraction, elle apparaitra comme une division...):

1/ premier exemple:
5/6 de 5 soit un ensemble de 5 cercles divisé en 6 groupes et nous en voulons 5 groupes
5/6 de 5 = 5/6 x 5 = 5x5/6 = 25/6
soit 26/6= 6/6 + 6/6 + 6/6 + 6/6 + 1/6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1/6
donc 5/6 de 5 = 4 et 1/6

 2/ second exemple:

3/10 de 8 soit un ensemble de 8 cercles divisé en 10 groupes et nous en voulons 3 groupes

3/10 de 8 = 3x8/10  ... le numérateur et le dénominateur peuvent être divisés par le même chiffre réduisant ainsi la fraction (8 divisé par 2 et 10 divisé par 2)

3/10 de 8 = 3x4/5 =12/5

soit 12/5 = 5/5 + 5/5 + 2/5 = 1 + 1 + 2/5

donc 3/10 de 8 = 2 et 2/5

La multiplication et la division (facteur et multiple)

Pour démarrer cette année de CM1, le lutin revoit ses tables de multiplication.

Cet été, nous les avons utilisées pour calculer au soroban. Et j'avais aussi préparé de petites méthodes pour les apprendre ou vérifier si un nombre pouvait être divisible par un autre nombre à un chiffre.

Plein de petites fiches, plein de petites astuces données par la Méthode de Singapour qu'il me faudra reprendre, ré-annoter correctement. Mais j'aimais cette idée de simplifier aussi, de donner des bases rapides de calcul.

Quel enthousiasme alors de découvrir les premières séances sur la multiplication des nombres entiers dans le nouveau guide de la Méthode de Singapour. Il amène maintenant les concepts de facteur et multiple. De quoi "jouer" encore avec les tables de multiplication, vérifier une multiplication, une division ou apporter des bases supplémentaires pour les fractions.

3 x 5 = 15 

3 est un facteur de 15

5 est un facteur de 15

15 est un multiple de 3

15 est un multiple de 5

Après avoir repérer les facteurs dans les tables de multiplication, nous découvrons des astuces pour être sûr qu'un nombre a tel facteur possible. Pour le vérifier, vous pouvez retrouver la multiplication dans la Table de Pythagore ou diviser et constater qu'il n'y a pas de reste.

- Si le nombre se termine par 0, 2, 4, 6, 8 vous êtes sûr que 2 est au moins un de ses facteurs

ex: 86  / 2 = 43 sans reste

- Si la somme des chiffres d'un nombre est égale à 3, 6 ou 9, vous savez que 3 est un de ses facteurs

ex: 57, 5 + 7 = 12, 1 + 2 = 3, 3 est divisible par 3 et vérification ultime 57 / 3 = 19 sans reste

Nous retrouvons aussi le multiple par les mêmes règles.

Les attrimaths comme première approche des mathématiques

Depuis un certain temps déjà, le petit d’homme joue librement avec les pièces d’attrimaths. Je n’avais pas tardé à acheter ce matériel après mon billet. J’avais fait des feuilles en dessinant les formes des pièces et leurs couleurs composant la forme complète mais sans succès. Le lutin était trop petit, aux mains encore malhabiles. Le champignon (1 trapèze rouge sur un hexagone jaune) avait eu du succès mais la difficulté de garder les pièces les unes auprès des autres l’énervait énormément. * le carré orange n'est pas égal à 2 losanges blancs!

Je lui ai ressorti les attrimaths une fois que les encastrements sont arrivés. Et là ils sont devenus de l’activité courante. Il joue librement avec les pièces et deux encastrements (les autres ne l’intéressent pas encore). Librement avec la limite de ne pas renverser la boite de pièces, de ne pas jeter et de ranger après bien-sûr. Il apprend ainsi doucement les formes, les grandeurs.

La plaque des hexagones est sa favorite. La première fois, il avait trouvé toutes les combinaisons mais après ce fut du bleu et du vert, encore et encore. Il a pris beaucoup de joie à découvrir que des pièces différentes pouvaient entrer. Il fait les hexagones maintenant même en dehors de l’encastrement.La plaque des formes géométriques est plus dure et pourtant elle a réussi à l’enthousiasmer quelques fois mais il a besoin que je la fasse devant lui avant. Pour bien-sûr au final offrir une autre version. Je n’ai pas encore abordé le nom des formes géométriques par ce biais, le lutin ne restant pas très longtemps concentré sur cette plaque.

Les attrimaths avec les encastrements ont de beaux jours devant eux. Vous pouvez voir les possibilités des attrimaths avec Kikabeille ou chez Balthazarandco.

Rajout: J'en reparle là ici, là et là