Division d'un nombre entier par une fraction

Nous avançons tout doucement dans le programme de 6ème selon la Méthode de Singapour (niveau un peu au-dessus du programme). Tout simplement parce que cette année demande au lutin plus d'investissement.

Le processus va utiliser la multiplication d'un nombre entier par une fraction. Un rappel est bienvenu:

3 x 2/3 = ( 3 x 2 ) / 3 = 6/3 = 2

***

Mais comme à chaque fois avec la Méthode de Singapour, la pratique et la visualisation sont importantes.

Les fractions ce sont des parts d'un tout. Avec les formes Attrimaths, il est possible de savoir combien de parts il y a dans l'hexagone jaune.

1 part dans l'entier (hexagone jaune) s'il n'est pas coupé

2 parts (trapèzes rouges) dans l'entier (hexagone jaune), soit le trapèze rouge équivaut à 1/2 (1 demi)

3 parts (losanges bleus) dans l'entier (hexagone jaune), soit le losange bleu équivaut à 1/3 (1 tiers)

6 parts (triangles verts) dans l'entier (hexagone jaune), soit le triangle vert équivaut à 1/6 (1 sixième)

Ce qui parait plus complexe et qui ne l'est pas en manipulant est de savoir, par exemple, combien de sixième (1/6) il y a dans un demi (1/2)? Soit combien de triangles verts dans un trapèze rouge.

C'est le moment de dire que cela revient à diviser le trapèze rouge (1/2) en triangles verts (1/6), soit: (1/2) / (1/6) = ?

Ou combien de sixième (1/6) dans trois entiers (3)? 18.

3 / (1/6) = ?

Reste à imager la démarche. La ligne des nombres illustre le processus de division d'un nombre entier par une fraction en utilisant la soustraction répétée.

En démarrant de zéro, la ligne va jusqu'au nombre entier à diviser. Il suffit alors de noter les entiers et les diviser par l'unité de "séparation". Puis, au dessus de la ligne, de soustraire par la fraction demandée. Attention l'unité de séparation est toujours un part du tout divisé en tant de parts.

Voici des exemples:
 2 / (1/4) = ?

ou plus compliqué:
5 / (2/3) = ?
Préparer la ligne des nombre de 0 à 5 et la diviser en portions, ici de 1/3 dans chaque entier. Repartir de 5 et compter par 2/3.
5 / (2/3) = 7 + 1/2

Puis de découvrir que le nombre entier divisé par la fraction revient à multiplier celui-ci par une fraction où l'on a inversé le dénominateur et le nominateur.
Il n'est plus alors nécessaire de passer par la schématisation:
6 / (1/7) = ?
6 / (1/7) = 6 x (7/1) = 6 x 7 =  42

ou
5 / (5/7) = 5 x (7/5) = (5 x 7) /5 = 35/5 = 7

Axes, symétries avec les attrimaths

Réviser encore et toujours avec du matériel...

Des mathématiques sans le savoir

Le lutin est entré en école primaire. Je ne me focalise pas vraiment sur les compétences à acquérir au CP. Pourtant une chose est sûr: ce sont sur ces bases-là que toute sa scolarité trouvera ses fondations. En écoutant mon amie maman de deux grands garçons au collège, je ne peux que suivre son conseil: consolider les bases... et pas tant en français qu'en mathématiques. Cela tombe très bien je suis une incompétente en la matière, avec quelques effets de discalculie (que je n'ai pas pourtant).

Alors autant que faire ce peut, je propose les éternelles applications qui plaisent tant au lutin, par exemple les attrimaths.

Il y a toujours un petit modèle à recouvrir en toute liberté...

et puis je corse l'affaire: en 4 couleurs imposées,

en 3

 Mais surtout nous entamons bien (en les faisant et refaisant) les symétries et les rotations.

La difficulté est bien plus grande pour le chenapan, quelque fois avec du temps et de la concentration il y arrive seul...

 et quelques fois il passe par un état de frustration intense...

puis après une ou deux respirations plus calmes, un indice comme un algorithme cher à son cœur (en rotation bleu puis blanc puis bleu...) et le résultat arrive.

 Et les symétries se succèdent...
avec quelques fois des petits pièges d'une forme coupée en deux.

Attrimaths en exercices 3/6 ans

Le lutin adore les attrimaths mais jusqu’à il y a peu il se contentait de faire avec les encastrements ici et là. Quelques animaux sont arrivés après mais ce n'était pas encore de grands exercices.

Avec les vacances, les attrimaths sont revenus avec beaucoup d'intensité. De 5 à 10 exercices par moment. Oui, oui il se concentre beaucoup sur cette activité. J'avais trouvé les fichiers attrimaths pour les 3/6 ans, comme ceux pour les 7/11 ans sur un forum, je ne sais plus lequel. J'en ai retrouvé un qui reprend les pages une à une en plus d'une sélection par petite section, moyenne section et grande section de maternelle (les sélections sont souvent des doublons par rapport au fichier complet).

Les exercices sont alors de différents ordres:
- des modèles à recouvrir avec un comptage des pièces à faire. Les solutions sont nombreuses avec les mêmes pièces. Pour certains modèles plus complexes, avec un nombres de pièces important, la mosaïque peut être harmonieuse ou non.
- des modèles figuratifs avec emplacements des pièces où il est demandé de les reproduire à l'identique une seconde fois sans modèle
- les symétries en miroir ou "centrée" permettant de développer sa logique spatiale et de suivre des algorithmes
- les rotations avec une impression visuelle

A cela je rajoute aussi les formes/contours qu'il remplit comme il le souhaite, une fois, deux fois etc...

Géométrie et repérage dans l'espace

Le petit d'homme passe beaucoup de temps à manipuler les formes géométriques ou non. Il aime recréer des modèles, superposer, se repérer, manipuler et former un dessin matériellement en trois dimensions.
Il va les chercher sous forme de jeu mais je vois les progrès dans son repérage dans l'espace. Les "tangrams" par exemple semblent beaucoup plus faciles. Ils sont arrivés après les "attrimats" et "Gagne ton papa" et je le vois beaucoup plus à l'aise dans la manipulation et la représentation 3D de chaque pièce (au moins pile et face).

Le jeu "Gagne ton papa" nous occupe tous les jours depuis le début des vacances jusqu'à prendre sur le temps d'avant l'école le matin. Ces duels de quelques minutes permettent vraiment de bons moments. Il s'agit de positionner les formes prédéfinies dans un espace déterminé. Alors même si le lutin ne gagne pas son papa ou sa maman, il arrive à chaque fois à remplir sa case avec beaucoup beaucoup de patience et de concentration.

Et puis le jeu est accompagné de "Kataboom" qui lui aussi revient souvent même si la table est prise et même si l'équilibre n'est que précaire:
- des formes à retrouver à plat avec modèle à la taille

avec le modèle en taille réduite

- des tours à monter où il faut trouver l'équilibre dans des formes pas si facile. Il faut alors trouver exactement la bonne pièce et surtout sa bonne disposition

Les formes reviennent, sans encastrement: le puzzle du corps humain se refait, "étage par étage", en dehors du support pour y être réinséré

Les attrimaths, dont je parlais ici et là, se décomposent en forme avec encore une aide sur le contour et la disposition des formes intérieures.
Rajout: dont je reparle là.

Les tangrams, eux, proposent les deux difficultés: les formes à refaire avec toutes les indications ou juste le contour. Et puis cela permet au loupiot de dépasser sa frustration car certaines fois il arrive à la forme "à peu près" mais il doit revenir, reprendre et proposer autre chose permettant de bien utiliser la totalité des 7 pièces géométriques.
De plus le fait d'avoir toutes les pièces de même couleur est un obstacle supplémentaire.

Le plus dur pour le lutin reste dans les formes à tourner autant sur elles-mêmes que d'une face à l'autre pour proposer des solutions différentes, par exemple les parallélogrammes des attrimaths et des tangram.
Et puis sa patience trouve une limite toujours au même point, quand il se lâche à ses propres essais. Quand il veut détourer les pièces, recréer la forme générale et qu'il est gêné par l'épaisseur des pièces, leur mobilité et par l'espace entre elles qu'il faut mettre pour y voir quelque chose sur le papier.

Prendre ses marques

C'est souvent que je le sens sur la réserve. Non, pas réticent mais fébrile, pas sûr de lui, pas convaincu de pouvoir y arriver. J'ai dû lui mettre une pression (que je ne pensais là que pour le départ d'une activité: une fois choisie, je voulais qu'il s'y mette, même une minute mais pas se laisser aller à l'échec potentiel). Je le regarde plus maintenant. Je prends plus de temps, je ne cherche plus d'autres activités, je le laisse sans même lui proposer de choisir quelque chose.
Et en fait, certaines activités se sont retrouvées au programme, comme ça:

Les attrimaths qu'il a récupéré dans sa chambre. Lui qui s'arrêtait à la première planche d'encastrement et n'avait essayé qu'une fois les autres, le voici les construisant toutes, les désencastrant pour mieux recommencer.

Il a aussi pris goût à cette construction selon modèles, me les réclamer à corps et à cris quand ils étaient tout chiffonnés et pas encore plastifiés (et je ne m'embêterais plus à faire les dessins modèles, les voici à télécharger gratuitement)
Il est à l'aise, maîtrise, revient, laisse et ne souhaite même plus laisser son ouvrage sur la table pour que son papa admire le soir. Sa seule satisfaction est celle de l'avoir fait!

Rajout: Je reparle des attrimaths ici et là

Les ballons de baudruche gonflés depuis quelques jours. Il se sert dans le grand paquet et gonfle, gonfle. Il en fait virevolter certains dans les pièces et s'exerce à gonfler au maximum les autres. Quelle application, quelle concentration pour souffler et non cracher, pour tenir le "goulot" sans que l'air ne parte, pour distinguer la limite d'élasticité du caoutchouc. Le loupiot aime le souffle, l'harmonica, les bougies, les bulles de savon, les ballons à déplacer en soufflant dessus... et maintenant les gonfler.

Et puis cette aisance, ces sauts en trampoline si fabuleux. Fabuleux parce qu'il y a quelques mois une des jambes était plâtrée de la hanche aux doigts de pied et que le lutin appréhendait de sauter... pas de la marche ou du saut d'un pied vers l'autre mais bien des sauts répétés les deux pieds joints...

Les attrimaths comme première approche des mathématiques

Depuis un certain temps déjà, le petit d’homme joue librement avec les pièces d’attrimaths. Je n’avais pas tardé à acheter ce matériel après mon billet. J’avais fait des feuilles en dessinant les formes des pièces et leurs couleurs composant la forme complète mais sans succès. Le lutin était trop petit, aux mains encore malhabiles. Le champignon (1 trapèze rouge sur un hexagone jaune) avait eu du succès mais la difficulté de garder les pièces les unes auprès des autres l’énervait énormément. * le carré orange n'est pas égal à 2 losanges blancs!

Je lui ai ressorti les attrimaths une fois que les encastrements sont arrivés. Et là ils sont devenus de l’activité courante. Il joue librement avec les pièces et deux encastrements (les autres ne l’intéressent pas encore). Librement avec la limite de ne pas renverser la boite de pièces, de ne pas jeter et de ranger après bien-sûr. Il apprend ainsi doucement les formes, les grandeurs.

La plaque des hexagones est sa favorite. La première fois, il avait trouvé toutes les combinaisons mais après ce fut du bleu et du vert, encore et encore. Il a pris beaucoup de joie à découvrir que des pièces différentes pouvaient entrer. Il fait les hexagones maintenant même en dehors de l’encastrement.La plaque des formes géométriques est plus dure et pourtant elle a réussi à l’enthousiasmer quelques fois mais il a besoin que je la fasse devant lui avant. Pour bien-sûr au final offrir une autre version. Je n’ai pas encore abordé le nom des formes géométriques par ce biais, le lutin ne restant pas très longtemps concentré sur cette plaque.

Les attrimaths avec les encastrements ont de beaux jours devant eux. Vous pouvez voir les possibilités des attrimaths avec Kikabeille ou chez Balthazarandco.

Rajout: J'en reparle là ici, là et là